Вычислить пример онлайн с решением

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

10

Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры

Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов

Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами. 1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан

1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.

Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:

где Deg – градусы, Rad – измерение в радианах, Grad — в градах. По умолчанию включен режим расчета в градусах.

В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:

90

Ответ: единица

Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:

60

Решение: 0,5

Аналогичным способом вычисляются обратные тригонометрические функции онлайн на КАЛКПРО — арксинус , арккосинус, арктангенс, а также гиперболические функции sinh, cosh, tanh.

Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав , появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.

Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе

позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды».

Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:

35,140453 35,23459166666666666666

Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 35,140453

Десятичный логарифм онлайн

Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:

1

Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:

100

Решение: два. Как себя проверить? Что вообще такое десятичный логарифм — log по основанию 10. В нашем примере 2 – это степень в которую необходимо ввести основание логарифма, то есть 10, чтобы получить 100.

Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой .

Как пользоваться памятью на калькуляторе

Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.

Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.

MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.

Пример. Внесем сто сорок пять в память программы:

145

После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:

На экране отобразится снова 145.

Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем , либо для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой получится 230, а во втором, после нажатия и получится 60.

Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.

Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!

Онлайн калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов, дробей и пр.

Точность:
123456∞?

Перенос?

28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div 2^2\left(-3\frac{1}{5}\cdot \left(-\frac{5}{8}\right)\right)}

←
→
⌫
C

(
)
ab
√
½

7
8
9
÷
≥=

4
5
6
×
xyz

1
2
3
—
sin

.

 
+
f(x)

↵

Результат

$$28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(-3\frac{1}{5}\cdot-\frac{5}{8}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(\frac{-16}{5}\cdot-\frac{5}{8}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(\frac{-16\cdot-5}{5\cdot8}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(\frac{80}{40}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot\left(\frac{2}{1}\right)} = \newline\newline 28.2-\sqrt{\sqrt{1000}\div2^{2}\cdot2} = \newline\newline 28.2-\sqrt{15.811388300842} = \newline\newline 24.223646356165$$

Как работать с математическим калькулятором

Клавиша	Обозначение	Пояснение
5	цифры 0-9	Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/-
.	точка (запятая)	Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 — будет записано 0.5
+	знак плюс	Сложение чисел (целые, десятичные дроби)
—	знак минус	Вычитание чисел (целые, десятичные дроби)
÷	знак деления	Деление чисел (целые, десятичные дроби)
х	знак умножения	Умножение чисел (целые, десятичные дроби)
√	корень	Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x2	возведение в квадрат	Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1/x	дробь	Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число
%	процент	Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%»
(	открытая скобка	Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10
)	закрытая скобка	Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки
±	плюс минус	Меняет знак на противоположный
=	равно	Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле «Решение» выводится промежуточные вычисления и результат.
←	удаление символа	Удаляет последний символ
С	сброс	Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»

Mathway

Программа Mathway имеет ограниченный бесплатный функционал. Если вы просто сфотографируете пример или введете его с клавиатуры, она выдаст ответ и денег не попросит. Но за подробное объяснение придется заплатить: купить аккаунт Premium либо просмотреть рекламу. Подписка стоит $19,99 в месяц или $79,99 в год. Скачать Mathway можно в Play Market и App Store.

В отличие от предыдущего, это приложение работает только онлайн, то есть без подключения к интернету оно ничем вам не поможет.

Есть у Mathway и сильные стороны – с его помощью можно изучать математические правила, которые удобно распределены по категориям: алгебра, геометрия, математический анализ, статистика и т. д. Кроме того, программа неплохо решает задачи по химии.

Как работать в Mathway:

1. Запустите программу. Нажмите на иконку «сэндвич» в виде трех линий слева вверху.
2. Выберите тему вашего примера из списка.
3. Введите задание с помощью специальной клавиатуры. Либо нажмите на значок камеры справа от поля для ввода.
4. Разрешите приложению доступ к камере и памяти устройства.
5. Сфотографируйте пример.
6. С помощью круглых маркеров в углах поместите пример в рамку. Нажмите на стрелку внизу.
7. Оцените результат, который выдала программа. Нажмите на кнопку под результатом, чтобы посмотреть пошаговые объяснения.
8. Так как объяснения доступны только после просмотра рекламы (в бесплатной версии), нажмите «Читайте решение бесплатно». Посмотрите видеоролик. Обычно он длится секунд 20. После ролика автоматически появится ход решения.
9. Чтобы увидеть все шаги, нажмите на иконку в виде плюса.
10. Ознакомьтесь с математическими правилами, которые были использованы при решении задачи.

Чтобы найти описание и пример конкретного математического правила, нажмите на иконку в виде шестеренки в правом верхнем углу. Выберите «Примеры».

Затем выберите категорию вопросов и само правило.

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3×2 — 4x + 2 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
2. Найдем дискриминант: D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D < 0, корней нет.

Пример 2. Решить уравнение: x2 — 6x + 9 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
2. Найдем дискриминант: D = b2 — 4ac = (-6)2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
3. D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x2 — 4x — 5 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
2. Найдем дискриминант: D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
3. D > 0, значит уравнение имеет два корня:

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Не желаешь повторить формулы сокращенного умножения?

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

D = b2 — 4ac

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Решение задач онлайн через камеру телефона

С каждым учебным годом математика усложняет задачи для учащихся. Становится всё труднее решать примеры быстро и практически не задумываясь. Появляются новые темы, функции, уравнения и прочее. Чтобы со всем этим справиться при вычислении примеров с верным решением, используйте «Камеру Калькулятор» на Андроид.

Это один из лучших способов решать примеры автоматически, применяя лишь камеру мобильного телефона. Пользователю нужно сфотографировать пример, чтобы решить его.

Возможности приложения:

• В приложении есть умный и удобный калькулятор для решения любых задач по предмету;
• Встроен научный калькулятор со всеми инструментами, которые есть в классической версии;
• Отдельно реализован калькулятор уравнений.

Также «Камера Калькулятор» станет незаменимым помощником для студентов разных профессий. Приложение не займёт много памяти в мобильном телефоне и может работать беззвучно.

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:∫ f(x) — для неопределенного интеграла;b_a∫ f(x) — для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Примеры вычислений интегралов:

$$\int \left(\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6}\right)dx$$ (найти интеграл функции)

$$\int \left(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int \left(\left(x^2+3x+5\right)\cos 2x\right)dx$$ (вычислить интеграл)

$$\int \left(\frac{x+\arccos ^2\left(3x\right)}{\sqrt{1-9x^2}}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _1^{e^3}\left(\frac{1}{x\sqrt{1+\log \left(x\right)}}\right)dx$$ (найти интеграл функции)

$$\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\left(\sin 6x\sin 7x\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _{+\infty }^{-\infty }\left(\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _1^2\left(x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)dx$$ (вычислить интеграл)

Таблица умножения. Тренажер

 

class=»img-responsive»>Эффективный числовой тренажер, способствует оперативному изучению таблицы умножения в игровой форме. Сервис предлагает два вида обучения пошаговое от числа к последующему и выбирая конкретное в случайном порядке. Приложение имеет интуитивно понятный интерфейс и компактный размер. Средний рейтинг на Гугле Маркете — 4,7. Более миллиона скачиваний.
 
Скачать приложение для Android, похожее для iOS

Страны мира

class=»img-responsive»>Географическое приложение, охватывающее в изучении сто девяносто пять стран. Знакомит школьника с флагами, столицами, численностью и достопримечательностями государств. Полученные знания тестируются в режиме головоломки, успешное прохождение гарантирует награду. Оценка сервиса 4,5 (двадцать пять тысяч голосов), загружено более одного миллиона раз.
 
Скачать приложение для Android, похожее для iOS

Орфография русского языка

class=»img-responsive»>Сервис предлагает обучаться правильному написанию слов играя. Веселая викторина применяет методику повторения. Слова, написанные с ошибками из одной игры, повторяются в последующих в случайном порядке совершенствуя навыки орфографии. Софт содержит учебные пособия с правилами и словари. Рейтинг 4,5 (9200+ голосов).
 
Скачать приложение для Android, похожее для iOS

Скороболтушки

class=»img-responsive»>Лингвистический онлайн ресурс для развития речи. Содержит библиотеку скороговорок, таблиц со слогами, стихов и упражнений на основе дыхательной гимнастики с пошаговым описанием. Программный продукт формирует культуру речи и тренирует память. Имеет красочные иллюстрации и хорошо читаемый шрифт на всех устройствах.
 
Скачать приложение для Android, похожее для iOS

Счет в уме

class=»img-responsive»>Тренажер мозга, основанный на ментальной ежедневной гимнастике. Позволяет индивидуально настроить уровень сложности, работать в режиме парной игры или оффлайн. Приложение учитывает статистику верных ответов и время прохождения заданий. Грамотно подобран шрифт и цветовое оформление. Более миллиона пользователей.
 
Скачать приложение для Android, похожее для iOS

Английский язык с Emister

class=»img-responsive»>Приложение обучает употребляемым английским словам и правилам в процессе игры. Содержит сто двадцать восемь уроков начального уровня. Позволяет участвовать в турнире и оценить знания в режиме онлайн. Emister оснащен удобным красочным интерфейсом и голосовым сопровождением.
 
Скачать приложение для Android, похожее для iOS

Глазарий языка

class=»img-responsive»>Увлекательное изучение русского языка в доступной форме. Приложение объединяет в себе справочники, составленные профессиональными лингвистами, тренажеры культуры речи, учебные пособия и материалы для чтения. Доступное изложение и перекрёстные ссылки углубляют знания и способствуют усвоению информации. Глазарий будет полезен ученикам всех возрастов. Высокий рейтинг в App Store — 4,9.
 
Скачать приложение для iOS

Математическая Лихорадка

class=»img-responsive»>Универсальная игра, развивающая математические способности детей и взрослых. Предлагает семь категорий с разным уровнем сложности. Ученики начальной школы выучат таблицу умножения и освоят задачи с небольшими числами. Старшеклассники оценят денежные задачи и примеры с большими величинами. Софт ведет статистику временных затрат прохождения игры и количества совершенных ошибок.
 
Скачать приложение для Android

Mathway — онлайн-сервис для вычисления примеров

С вычислением сложных примеров и их вычислением в Интернете поможет онлайн-приложение Mathway. Без надобности устанавливать какие-либо программы на телефон. Откройте в браузере ссылку на сайт Mathway.com.

При нажатии на кнопку с фотоаппаратом на экране появится виртуальная клавиатура со всеми подходящими символами для решения математических уравнений. Если к вашему устройству подключена веб-камера или вы используете сайт с мобильного устройства, то появится возможность сфотографировать условия задачи.

Также его можно записать в пустой строке, которая выше виртуальной клавиатуры приглашает: «Введите задачу».
Чтобы выбрать другой предмет в онлайн-сервисе, нажмите на кнопку меню вверху.

Среди них можно выбрать:

• Решение задач по элементарной математике;
• Тригонометрии;
• Статистике,
• Алгебре;
• Линейной алгебре;
• Химии;
• Создание графиков;
• Основа математического анализа.

В меню онлайн-программы доступны примеры по разным предметам. Чтобы их открыть, нажмите на кнопку с тремя точками вверху. И выберите пункт «Примеры».
Появится новый раздел, где вы сможете выбрать примеры по алгебре. Для того, чтобы рассмотреть один из них, выберите его курсором мыши или тапом по экране мобильного. Когда пример будет выбран, его условия и решение развернется на экране.
Дополнительно появится возможность открыть каждый шаг в решении. Или показать график из этого примера на экране. Ссылки для этого в конце примера.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x2 — 2x + 6 = 0
• x2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x2 ), а значит уравнение называется приведенным.

2×2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Запоминаем!

У преобразованного уравнения те же корни, что и у первоначального. Ну или вообще нет корней.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8×2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Фото калькулятор Photomath

Когда-то калькулятор был незаменимым помощником в решении различных задач. Времена меняются и на смену ему приходят смартфоны с универсальными приложениями. Программа Photomath даёт возможность решать большинство примеров по математике автоматически.

1. Скачайте её для своего смартфона с Android или для .
2. Всё что для этого нужно — сфотографировать пример или уравнение по математике или физике.
3. И предоставить фото приложению.
4. Сколько будет на изображении примеров, столько и решит программа.

Кнопка для создания снимка находится в середине основного меню. Работает по принципу создания изображения на телефоне через камеру мобильного.  На экране можно выделять пример с помощью небольшого окна фокусировки.

Увеличьте его, если пример большой. Или сделайте меньше, если требует решить лишь часть уравнения, с которой у вас возникают проблемы. Приложение Photomath умеет решать задачи и без Интернета. В нём более 250 различных математических функций.

Решение уравнения через камеру

Программа может быть использована как обычный калькулятор. Поддерживаются: вычитание, сложение, деление, умножение, дроби.

Можно решать примеры по тригонометрии, алгебре, вычислять квадратные корни, упрощения, базовые алгоритмы. Пока что нет возможности решать через фото системы уравнений, исчисления, полиномы и прочее. Первое использование программы заставит пользователя немного подождать. Приложение будет копировать базу данных. Когда процесс завершится, на экране появится решение.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

1% = 1/100 = 0,01

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

0,15 = 0,15 · 100% = 15%.

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Быстрая напоминалка:

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: пять целых четыре десятых. «Четыре десятых» подсказывают, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
2. А теперь сократим числитель и знаменатель на два (потому что можно) и получим: 5 2/5.

Ответ: 5,4 = 5 2/5.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: четыре целых пять тысячных. Значит 5 — идет в числитель, а 1000 — в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После сокращения: 4 1/200.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель, а 100 — в знаменатель. В смешанном виде дробь такая: 5 60/100.
2. Сократим дробную часть на 10 и получим 5 6/10. Или можно вспомнить про свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.

Ответ: 5,60 = 5 6/10.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

1. Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу. Например:
   • 0,35 = 0,35/1
   • 2,34 = 2,34/1
2. Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
   • 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
   • 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
3. А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
   • 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
   • 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax2 + c = 0, при b = 0;
• ax2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax2 = 0.

Уравнение ax2 = 0 равносильно x2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x2 = 0 является нуль, так как 02 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6×2 = 0.

Как решаем:

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

   −6×2 = 0

   x2 = 0

   x = √0

   x = 0

Ответ: 0.

Как решить уравнение ax2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax2 = — c,
• разделим обе части на a: x2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах
Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0 равносильно уравнению ax2 + c = 0, которое: не имеет корней при — c/а < 0; имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8×2 + 5 = 0.

Как решать:

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   8×2 = — 5

2. Разделим обе части на 8:

   x2 = — 5/8

3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8×2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:

• x = 0;
• x = −b/a.

Пример 1. Решить уравнение 0,5×2 + 0,125x = 0

Как решать:

1. Вынести х за скобки

   х(0,5x + 0,125) = 0

2. Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
3. Решить линейное уравнение:

   0,5x = 0,125,
   х = 0,125/0,5

4. Разделить:

   х = 0,25

5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)2- 4ac = 4n2 — 4ac = 4(n2- ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n2- ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n2- ac;
• если D₁< 0, значит действительных корней нет;
• если D₁= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле;
• если же D₁> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11×2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100×2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100×2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12×2- 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2×2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2×2- 3x + 7 = 0 перейти к решению 2×2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

• x₁ + x₂ = — b/a,
• x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3×2- 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

• Калькулятор раз
• Два
• Три

Теория вероятностей

1. Системы случайных величин. Полезный калькулятор при изучении темы на условные ряды распределения X,Y.
2. Корреляционная таблица — этот тип калькулятора используется для нахождения ковариация и коэффициента корреляции.
3. см. другие онлайн-калькуляторы по теории вероятностей

С помощью сервиса WolframAlpha можно бесплатно решать многие математические задачи. Решение бесплатное и автоматическое с возможностью сохранять результаты вычислений в формате pdf. Есть возможность показать ход решения (Show steps).

Найти корни уравнения	x2 — 3x + 4 = 0
Разложить на множители	x2 — 3x + 4 = 0

С помощью калькулятора Web2 можно быстро вычислить некоторые математические выражения и находить пределы, производные и интегралы.

Примечание:

• 2nd — смена режима
• const — список общепринятых констант (например, постоянная Авогадро, π, масса электрона, постоянная Планка и многие другие).
• ncr — число сочетаний из n по m:
• npr — Число размещений из n элементов по k:
• ! — факториал.
• mod — остаток от деления.
• # — векторное произведение.
• int — интеграл. Пример:
• diff — производная. Пример:
• lim — предел. Пример:

Pocket Teacher — поможет вычислить уравнения по математике

Рассмотрим ещё один интересный онлайн-сервис с решениями для математики. Называется он Pocket Teacher.

Ссылка: https://www.pocketteacher.ru/solve-page.
Сайт является большим и всесторонним инструментом, для решения практически любых математических условий заданий. На главной странице пользователю предлагается выбрать один из трёх основных разделов сайта: алгебра, геометрия, высшая математика и текстовая задача.
На экране отображается клавиатура с математическими знаками.

1. Начните вводить символы условия своей задачи;
2. Возле примера находятся кнопки для управления вводом. Нажмите «Очистить» или «Удалить», если допустили ошибку при вводе;
3. Чтобы пример решить, нажмите на соответствующую кнопку справа и выберите пункт «Решение».

Каждое решение на время сохраняется на сайте. Его можно вернуть при помощи кнопок на панели. Это приложение можно скачать на мобильный телефон с Android или с IOS. Ссылки расположены на главной странице сайта.